חשבון אינפיניטסימלי
בר-מניה: קבוצה תקרא בת-מניה אם ניתן למספר את אבריה באמצעות המספרים הטבעיים. כלומר, לכל איבר בקבוצה נתאים מספר טבעי כך שאין שני אברים עם אותו מספר, ולכל מספר טבעי קיים אבר שקיבל מספר זה. נשים לב כי על-פי הגדרה זו קבוצות סופיות אינן יכולות להיות בנות-מניה, כי יש אינסוף מספרים טבעיים ולכן תמיד יהיה מספר שלא ניתן לאף אחד מאברי הקבוצה. לפעמים מרחיבים את ההגדרה ואומרים כי קבוצה בת-מניה היא קבוצה סופית או כזו שניתן למספר את אבריה בצורה שתוארה לעיל.
בלשון פורמלית יותר של תורת הקבוצות, קבוצה היא בת-מניה אם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים הטבעיים אליה.
הדרך הנוחה ביותר להדגים התאמה בין קבוצה למספרים הטבעיים היא על-ידי סידור אברי הקבוצה בסדרה. במקרה הזה האבר הראשון בסדרה מותאם למספר 1, השני למספר 2 וכן הלאה.
ניתן לחשוב על קבוצה בת-מניה באופן הבא: ניתן לסדרה בצורה כזו כך שאם ניקח אבר בקבוצה, אז קיים בקבוצה אבר מסוים שהוא האבר הבא אחריו, וקיים בקבוצה אבר מסוים שהוא האבר הקודם לו. אם לא קיים אחד מאלה, הרי שאפשר להגיד על אבר מסוים זה שהוא ה"אחרון" בקבוצה או ה"ראשון" בה. עם זאת, יש לשים לב כי קיימות גם קבוצות שאינן בנות-מניה וניתן לסדרן בצורה כזו, ולכן הדגמה של סידור שכזה אינה מוכיחה שקבוצה היא בת-מניה.
1. הנה קבוצה בת-מניה.
2. אינה קבוצה בת-מניה.
מי שמעונין בהוכחות לטענות אלה מוזמן להסתכל בנספח למבוא.
מקור: ויקיספר העברי · רישיון CC BY-SA 4.0 · התוכן עובד והותאם
