השכלה

חוזרים בתבונה התנועה ליהדות חופשית

גבולות / גבול חלקי

📥 הורד PDF

חשבון אינפיניטסימלי

פעולות אריתמטיות על קבוצות
קטעים
מספרים רציונליים ואי-רציונליים
פונקציות
בר מניה ולא בר מניה
קבוצות חסומות
תרגולים
תרגילים

סדרות חסומות
סדרות מונוטוניות
תת סדרות

הגדרת הגבול
משפטים בסיסיים
אריתמטיקה של גבולות וכלל הסנדוויץ
גבול אינסופי
גבול חלקי
המספר e
הוכחות
גבול של סדרה

גבולות של פונקציות

רציפות
הגדרת הנגזרת
חוקי גזירה
נגזרות של פונקציות אלנמטריות

מבוא
האינטגרל הלא-מסוים
האינטגרל המסוים
שיטות אינטגרציה
אינטגרל מוכלל

טור מקלורן

משפט: הלמה של קנטור

אם $\{a_{n}\}_{1}^{\infty },\{b_{n}\}_{1}^{\infty }$ הן שתי סדרות המקיימות $a_{n}\leq a_{n+1}<b_{n+1}\leq b_{n}$ לכל n, והמרחק ביניהן שואף לאפס, אז הן מתכנסות לגבול משותף.

הוכחה: על פי הנתון מתקיים $\lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0$ , כלומר $\lim _{n\to \infty }b_{n}-\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ ולכן $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ .

משפט: משפט בולצאנו ויירשטראס (‫‪Bolzano-Weierstrass‬‬)

הוכחה:

משפט:

לכל סדרה יש תת סדרה המתכנסת במובן הרחב

הוכחה:

משפט:

לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית

הוכחה: על פי משפט ארדש סקרש, לכל סדרה באורך $ab+1$ יש תת סדרה מונוטונית עולה באורך $a+1$ או תת סדרה מונוטונית יורדת באורך $b+1$ . כל אורך של סדרה נוכל לכתוב כמספר מהצורה $ab+1+c$ כאשר c הוא קבוע כלשהו. לפי זה נקבל סדרה מונוטונית באורך של לפחות $a+1$ (אם עולה) או $b+1$ (אם יורדת)

גבול חלקי

מקור: ויקיספר העברי · רישיון CC BY-SA 4.0 · התוכן עובד והותאם