השכלה

חוזרים בתבונה התנועה ליהדות חופשית

גבולות / אריתמטיקה של גבולות וכלל הסנדוויץ

📥 הורד PDF

חשבון אינפיניטסימלי

פעולות אריתמטיות על קבוצות
קטעים
מספרים רציונליים ואי-רציונליים
פונקציות
בר מניה ולא בר מניה
קבוצות חסומות
תרגולים
תרגילים

סדרות חסומות
סדרות מונוטוניות
תת סדרות

הגדרת הגבול
משפטים בסיסיים
אריתמטיקה של גבולות וכלל הסנדוויץ
גבול אינסופי
גבול חלקי
המספר e
הוכחות
גבול של סדרה

גבולות של פונקציות

רציפות
הגדרת הנגזרת
חוקי גזירה
נגזרות של פונקציות אלנמטריות

מבוא
האינטגרל הלא-מסוים
האינטגרל המסוים
שיטות אינטגרציה
אינטגרל מוכלל

טור מקלורן

משפט: אריתמטיקה של גבולות

יהיו $a_{n},b_{n}$ שתי סדרות מתכנסות $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A,\lim _{n\to \infty }b_{n}=B$ אזי -

לכל מספר ממשי $c\in R$ מתקיים - $\lim _{n\to \infty }c\cdot a_{n}=c\cdot A$
$\lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=A+B$
$\lim _{n\to \infty }(a_{n}-b_{n})=A-B$
$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=A\cdot B$
אם $b_{n}\neq 0,B\neq 0$ אזי $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {A}{B}}$

הוכחה:

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

מהגדרת הגבול $\forall \varepsilon >0,\exists k_{A},k_{B}:\forall n>k_{A}|a_{n}-A|<\varepsilon \land \forall m>k_{B}|b_{n}-B|<\varepsilon$

אם $c=0$ אז הטענה נכונה באופן טריוויאלי. אחרת נבחר $\varepsilon _{0}={\frac {\varepsilon }{c}}$ , אז $\exists k\forall n>k|a_{n}-A|<\varepsilon _{0}\Rightarrow c|a_{n}-A|<\varepsilon \Rightarrow |c(a_{n}-A)|<\varepsilon$
יהי $\varepsilon >0$ . נבחר כעת $f=\max(n,m)$ אז על פי הגדרת הגבול $\forall g>f|a_{g}-A|<{\frac {\varepsilon }{2}}\land |b_{g}-B|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ , כלומר $-{\frac {\varepsilon }{2}}<a_{g}-A<{\frac {\varepsilon }{2}}\land -{\frac {\varepsilon }{2}}<b_{g}-B<{\frac {\varepsilon }{2}}$ , כלומר $-\varepsilon <a_{g}-A+b_{g}-B<\varepsilon \Rightarrow |a_{g}+b_{g}-A-B|<\varepsilon$

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

כלל הסנדוויץ

עריכה

משפט:

אם $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ ומתקיים $a_{n}\geq 0$ לכל $n$ טבעי אזי $L\geq 0$

הוכחה:

משפט:

יהיו $a_{n},b_{n}$ שתי סדרות מתכנסות $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A,\lim _{n\to \infty }b_{n}=B$ אם $a_{n}\geq b_{n}$ לכל $n$ טבעי אזי $A\geq B$

הוכחה:

משפט: כלל הסנדוויץ

יהיו $a_{n},b_{n},c_{n}$ שלוש סדרות, אם $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$ לכל $\ n$ טבעי, ומתקיים $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L,\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$ אזי גם $\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$

הוכחה:

אריתמטיקה של גבולות וכלל הסנדוויץ

מקור: ויקיספר העברי · רישיון CC BY-SA 4.0 · התוכן עובד והותאם