משפט:: סכום מספרים אי-זוגיים ((Defines the sum of odd integers) : ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}2i-1=n^{2}}$

בדיקה: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{1}2i-1=2-1=1\Leftrightarrow 1^{2}}$

נניח כי הטענה נכונה לכל מספר טבעי :${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}2i-1=n^{2}}$

נוכיח נכונותה: ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n+1}2i-1=(n+1)^{2}\\\sum _{i=1}^{n}2i-1+[2(n+1)-1]=(n+1)^{2}\\\underbrace {\sum _{i=1}^{n}2i-1} _{n^{2}}+2(n+1)-1=(n+1)^{2}\\n^{2}+2(n+1)-1=(n+1)^{2}\\n^{2}+2n+2-1=(n+1)^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}2i-1=n^{2}\end{aligned}}}$