השכלה

חוזרים בתבונה התנועה ליהדות חופשית

מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות / פעולות אריתמטיות על קבוצות

📥 הורד PDF

חשבון אינפיניטסימלי

פעולות אריתמטיות על קבוצות
קטעים
מספרים רציונליים ואי-רציונליים
פונקציות
בר מניה ולא בר מניה
קבוצות חסומות
תרגולים
תרגילים

סדרות חסומות
סדרות מונוטוניות
תת סדרות

הגדרת הגבול
משפטים בסיסיים
אריתמטיקה של גבולות וכלל הסנדוויץ
גבול אינסופי
גבול חלקי
המספר e
הוכחות
גבול של סדרה

גבולות של פונקציות

רציפות
הגדרת הנגזרת
חוקי גזירה
נגזרות של פונקציות אלנמטריות

מבוא
האינטגרל הלא-מסוים
האינטגרל המסוים
שיטות אינטגרציה
אינטגרל מוכלל

טור מקלורן

איחוד (Unification)

עריכה

נתונות הקבוצות $A,B$ . האיחוד ביניהן יסומן כך:

C=A\cup B=\{x:x\in A\lor x\in B\}

כלומר הקבוצה $C$ מורכבת מכל האברים בקבוצה $A$ ומכל האברים בקבוצה $B$ .

נשים לב לשימוש בכַּמָּת "או": מספיק שאבר יקיים רק אחד מהתנאים (במקרה שלנו: מספיק שאבר ישתייך רק לאחת מהקבוצות $A$ או $B$ ) על־מנת להיות בקבוצה $C$ .
ניתן להגדיר איחוד של מספר קבוצות: $A\cup B\cup C\cup \cdots$ וכו'. ואז, הקבוצה החדשה תכיל את כל האברים של כל הקבוצות.
אם $I$ קבוצת אינדקסים (למשל: קבוצה עם $n$ אינדקסים), נוכל להגדיר איחוד בין הקבוצות $A_{i}$ (כלומר $A$ עם אינדקס $i$ ) באופן הבא:

A_{i_{1}}\cup \cdots \cup A_{i_{n}}=\bigcup _{i\in I}A_{i}

עבור $C=A\cup B$ מתקיים: $A\subseteq C$ וגם $B\subseteq C$ .
לכל קבוצה $A$ מתקיים:

A\cup A=A,A\cup \varnothing =A

דוגמא: נתון $A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}$ . אזי $A\cup B=\{1,2,3,4\}$ .
דוגמא נוספת, כמובטח למעלה: את קבוצת המספרים השלמים $\mathbb {Z}$ נוכל לכתוב באופן הבא, במונחים של איחוד קבוצות: $\mathbb {Z} =\mathbb {N} \cup -\mathbb {N}$ , כאשר $-\mathbb {N}$ פירושו: $-\mathbb {N} =\{-1\times n:n\in \mathbb {N} \}$ .

חיתוך (Intersection)

עריכה

נתונות הקבוצות $A,B$ . החיתוך ביניהן יסומן כך:

C=A\cap B=\{x:x\in A\land x\in B\}

כלומר הקבוצה $C$ מורכבת מהאברים שנמצאים גם בקבוצה $A$ וגם בקבוצה $B$ .

נשים לב לשימוש בכַּמָּת "וגם": על אבר כלשהו להשתייך הן לקבוצה $A$ והן לקבוצה $B$ על־מנת להיות בקבוצה $C$ .
ניתן להגדיר חיתוך של מספר קבוצות: $A\cap B\cap C\cap \cdots$ . ואז, הקבוצה החדשה תכיל רק את האברים המשותפים לכל הקבוצות.
אם $I$ קבוצת אינדקסים (למשל: קבוצה עם $n$ אינדקסים), נוכל להגדיר חיתוך בין הקבוצות $A_{i}$ (כלומר $A$ עם אינדקס $i$ ) באופן הבא:

A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{n}}=\bigcap _{i\in I}A_{i}

עבור $C=A\cap B$ מתקיים: $C\subseteq A$ וגם $C\subseteq B$ .
לכל קבוצה $A$ מתקיים:

A\cap A=A,A\cap \varnothing =\varnothing

דוגמא: נתון $A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}$ . אזי $A\cap B=\{2,3\}$ .

חיסור בין קבוצות

עריכה

לכל שתי קבוצות $A,B$ נוכל להגדיר את פעולת החיסור באופן הבא: $C=A-B=A\backslash B=\{x\in A|x\not \in B\}$ כלומר, הקבוצה $C$ מכילה את כל אברי $A$ שאינם נמצאים בקבוצה $B$ .

עבור $C=A\backslash B$ , מתקיים: $C\subseteq A$ .
לכל קבוצה $A$ , מתקיים: $A=A\backslash \emptyset$ .
דוגמא: נתון $A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}$ . אזי $A\backslash B=\{1\}$ .
חשוב: לא להתבלבל בין סימן חיסור הקבוצות $\backslash$ לבין הסימן $/$ (שמשמש, לרוב, לסימון חילוק, או בקורסים אחרים לסימון מחלקות שקילות)!!! המשמעות של כל אחד מהסימנים שונה לחלוטין!
שימו לב, שבניגוד לסימנים שראינו עד כה, כאן הסדר כן משנה. כלומר, מתקיים: $A\cup B=B\cup A$ , וכן $A\cap B=B\cap A$ . לעומת זאת, לרוב $A\backslash B\neq B\backslash A$ .

שוויון בין קבוצות

עריכה

מאחר והגדרנו קבוצה כאוסף של אברים, אנו נבדיל בין הקבוצות לפי האברים שלהן. כלומר, הביטוי " $A=B$ " ייכתב באופן הבא: $x\in A\iff x\in B$ .

דוגמא חשובה: נתונות הקבוצות $B=\{1,2\}\ ,\ A=\{1,2,2\}$ . אזי: $B=A$ . (ודאו שהנכם מבינים מדוע)
לכל קבוצה $A$ מתקיים: $A=A$ (תכונת הרפלקסיביות). ניתן לכתוב תכונה זו גם באופן הבא: $x\in A\iff x\in A$ .
תכונת הטרנזיטיביות: $(A=B)\land (B=C)\Rightarrow (A=C)$ . תכונה זו, כמו גם התכונה הקודמת שצוינה, הנה ברורה ודומה כי מיותר לציינה. לדברים שהם ברורים קוראים במתמטיקה "דברים טריוויאלים".

הפרק הקודם:
'

מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות
תרגילים

הפרק הבא:
קטעים

מקור: ויקיספר העברי · רישיון CC BY-SA 4.0 · התוכן עובד והותאם